Rationale for the Program

Teaching methods carry great importance, serving as varied means of conveying information to the learner and bringing about a change in perception and in the learner's readiness to shift positions, as well as an opportunity to view content from different angles. They are meant to advance thinking processes, improve understanding, improve the ability to decode material, and overcome obstacles in problem solving. Their effectiveness is measured by how well they fit the individual learner, and by the learner's ability to fully internalize the learning content and to apply the acquired information independently and effectively.

In the proposal before us, a new method of teaching through a graphic perspective is presented, in order to add variety and open a window onto multidisciplinary thinking in the field of mathematics and its connections with the various sciences.

Mathematics and science teachers, in the course of their training, acquire, among other things, basic knowledge regarding the combination of structured and standardized study and teaching methods that pass from generation to generation, such as: "this is the theory, this is the formula (the mathematical formulation that includes the relevant parameters of the phenomenon), and this is the accepted way of solving the problems." We would all like teachers in these fields to direct their thinking "outside the box" and to give consideration to additional solution paths for the issues discussed in the curricula.

The first part of the proposal is a learning unit that can be extended to additional fields, as a modest means of diversification: "solving a mathematical problem by means of graphic construction," which has been absent from the curriculum for a long time (the classic book by Ledzinski, Plane Geometry, from the 1950s and 1960s of the previous century, and even various later editions after it, have been absent from the curriculum). The learning unit proposed here is meant to pave the way for mathematics and science teachers toward additional directions of thinking, in a different mathematical perspective, on the basis of prior knowledge: adapting a new style of thinking to existing knowledge.

The second part of the proposal discusses the application of the "Pythagorean triangle" and cases of the "law of cosines" to present relationships between the various parameters in the fields of mathematics and physics. These cases are examples intended to broaden the learner's understanding of the additional ways in which mathematics can, on the one hand, formulate equations, and on the other hand, demonstrate connections with other basic formulas. On the basis of these two goals, it is possible to describe mathematical relationships across different fields of study and to formulate equations that describe physical situations.

The third part of the proposal discusses the coining of new concepts worth adding to the professional literature in the field of mathematics, which arose from the need to explain the new content.

The main idea of the proposal is to expand the knowledge and thinking skills of those engaged in the study of mathematics and science. On the basis of the applications of this knowledge, it is possible to show the different facets of a geometric law.

It is incumbent upon us, as human beings, insofar as it is in our power, to investigate, interpret, and detail the principles underlying mathematical relationships, in their connections, their formulations, and their coordination, through which we come to know nature, and in doing so to contribute as much as possible to the development of knowledge.

مبررات البرنامج

تكتسب طرق التدريس أهمية كبيرة، كونها وسائل متنوعة لنقل المعلومة إلى المتعلم، وتُحدث تغييراً في التصور وفي استعداد المتعلم لتغيير مواقفه، وتمنحه فرصة لرؤية المحتوى من زوايا مختلفة. وهي تهدف إلى تعزيز عمليات التفكير، وتحسين الفهم، وتحسين القدرة على تحليل المعلومات، والتغلب على الصعوبات في حل المسائل. وتُقاس فعاليتها بمدى ملاءمتها الفردية للمتعلم، وبقدرته على الاستيعاب الكامل لمحتوى التعلّم، وتطبيق المعلومات المكتسبة بشكل مستقل وفعّال.

في هذا المقترح، تُعرض طريقة جديدة للتدريس من منظور بياني، بهدف إضافة التنوع وفتح نافذة على التفكير متعدد التخصصات في مجال الرياضيات وعلاقاتها بالعلوم المختلفة.

يكتسب معلمو الرياضيات والعلوم، خلال مسار تأهيلهم، من بين أمور أخرى، معرفة أساسية بشأن دمج طرق تعليم وتدريس منظمة وموحدة تنتقل من جيل إلى جيل، مثل: "هذه هي النظرية، وهذه هي الصيغة (الصياغة الرياضية التي تشمل المعطيات ذات الصلة بالظاهرة)، وهذه هي الطريقة المتعارف عليها لحل المسائل." ونريد جميعاً أن يوجّه المعلمون في هذه المجالات تفكيرهم "خارج الصندوق"، وأن يأخذوا بعين الاعتبار طرقاً إضافية لحل القضايا التي تُطرح في المناهج الدراسية.

يتضمن الجزء الأول من المقترح وحدة تعليمية يمكن توسيعها لمجالات إضافية، كوسيلة تنويع متواضعة: "حل مسألة رياضية عن طريق البناء البياني"، وهي غائبة عن المنهج الدراسي منذ زمن طويل (كتاب ليدزينسكي الكلاسيكي الهندسة المستوية من خمسينيات وستينيات القرن الماضي، وحتى النسخ المختلفة والأحدث التي تلته، غائبة عن المنهج الدراسي). وتهدف الوحدة التعليمية المقترحة هنا إلى تمهيد الطريق لمعلمي الرياضيات والعلوم المختلفة نحو اتجاهات فكرية إضافية، برؤية رياضية مختلفة، على أساس المعرفة السابقة: أي تكييف أسلوب تفكير جديد مع المعرفة القائمة.

ويتناول الجزء الثاني من المقترح تطبيق "مثلث فيثاغورس" وحالات من "قانون جيب التمام" لعرض العلاقات بين المعطيات المختلفة في مجال الرياضيات والفيزياء. وهذه الحالات أمثلة تهدف إلى توسيع مدارك المتعلم بشأن الطرق الإضافية التي تتيح للرياضيات، من جهة، صياغة المعادلات، ومن جهة أخرى، إثبات العلاقات مع صيغ أساسية أخرى. وعلى أساس هاتين الغايتين، يمكن وصف العلاقات الرياضية في مجالات دراسية مختلفة، وصياغة معادلات تصف حالات فيزيائية.

ويتناول الجزء الثالث من المقترح صياغة مفاهيم جديدة تستحق الإضافة إلى الأدبيات المتخصصة في مجال الرياضيات، والتي نشأت نتيجة الحاجة والضرورة لشرح المحتويات الجديدة.

وتتمثل الفكرة الأساسية للمقترح في توسيع المعرفة ومهارات التفكير لدى المهتمين بدراسة الرياضيات والعلوم. وعلى أساس تطبيقات هذه المعرفة، يمكن إظهار الأوجه المختلفة لقانون هندسي.

وواجبنا، كبشر، بقدر ما هو في متناولنا، أن نبحث ونفسّر ونفصّل المبادئ الكامنة خلف العلاقات الرياضية، في روابطها وصياغاتها وتناسقها، والتي من خلالها نتعرّف على الطبيعة، وبذلك نساهم قدر الإمكان في تطور المعرفة.

רציונל התוכנית

רבה חשיבותן של שיטות הוראה, המשמשות אמצעי מגוון להעברת מידע ללומד, ומחוללות שינוי בתפישה ובנכונות הלומד לשינוי עמדות והזדמנות לראות את התכנים מזוויות שונות. הן מיועדות לקידום תהליכי חשיבה, שיפור ההבנה, שיפור כושר פענוח והתגברות על תקלות בפתרון בעיות. מידת יעילותן נבחנת בהתאמתן האישית ללומד, וביכולתו להגיע להפנמה מלאה של תכני הלמידה, וליישם באופן עצמאי ויעיל את המידע הנרכש.

בהצעה שלפנינו, מוצגת שיטה חדשה בהוראה בראיה גרפית, כדי לתת גיוון ובפתיחת צוהר בחשיבה רב-תחומית בתחומי המתמטיקה וקשריה עם המדעים השונים.

מורים למתמטיקה ולמדעים במסלול הכשרתם, רוכשים, בין השאר, ידע בסיסי באשר לשילוב שיטות לימוד והוראה מובנות וסטנדרטיות, העוברות מדור-לדור, כמו למשל: "זאת התיאוריה, זאת הנוסחה (הניסוח המתמטי שכולל בחובו את הפרמטרים הרלוונטיים של התופעה) וזאת הדרך המקובלת לפתרון הבעיות". נרצה כולנו שמורים בתחומים אלה יכוונו את חשיבתם "מחוץ לקופסה" ויתנו את דעתם לדרכי פתרון נוספות לסוגיות שנידונות בתוכניות הלימודים.

בחלקה הראשון של ההצעה, יחידת לימוד שניתן להרחיבה לתחומים נוספים, כאמצעי גיוון צנוע: "פתרון סוגיה מתמטית באמצעות בנייה גרפית", שנעדרת מתכנית הלימודים מזה זמן רב (ספרו הקלסי של לדז'ינסקי גיאומטריה במישור משנות החמישים והשישים של המאה הקודמת ואף גרסאות שונות וחדשות אחריו נעדר מתוכנית הלימודים). יחידת הלימוד המוצעת כאן מיועדת לסלול את הדרך בפני המורים למתמטיקה והמדעים השונים לכיווני חשיבה נוספים, בראייה מתמטית שונה, על בסיס הידע הקודם: התאמת סגנון חשיבה חדש ליידע קיים.

חלקה השני של ההצעה, דן ביישום "משולש פיתגורס" ומקרים של "חוק הקוסינוסים" להצגת קשרים בין הפרמטרים השונים בתחום המתמטיקה והפיזיקה. מקרים אלה הן דוגמאות שמטרתן להרחיב את דעתו של הלומד באשר לדרכים הנוספות של המתמטיקה לנסח משוואות מחד גיסא, והוכחת קשרים עם נוסחאות בסיסיות אחרות מאידך גיסא. על בסיס שתי מטרות אלה ניתן לתאר קשרים מתמטיים בתחומי לימוד שונים וניסוח משוואות שמתארות מצבים פיזיקליים.

חלקה השלישי של ההצעה, דן בהטבעת מושגים חדשים שראויים להוסיף לספרות המקצועית בתחום המתמטיקה אשר התהוו עקב הצורך והנחיצות להסביר את התכנים החדשים.

עיקר הרעיון של ההצעה הוא הרחבת הידע ומיומנויות החשיבה אצל קהל העוסקים בלימודי המתמטיקה והמדעים. על בסיס היישומים של ידע זה ניתן להראות הפנים השונים של חוק גיאומטרי.

שומה עלינו כבני אדם, ככל שבידינו, לחקור, לפרש ולפרט את העקרונות המסתתרים מאחורי היחסים המתמטיים בקשריהם, בניסוחיהם ובתיאומם שבאמצעותם אנו מכירים את הטבע, ובכך נתרום ככל האפשר להתפתחות הידע.